Интеграл dx/(1-x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left(1 - x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{1 - x} = - \frac{1}{x - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x - 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{1 - x} = - \frac{1}{x - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x - 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left(1 - x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \log{\left(1 - x \right)}+ \mathrm{constant}$