Интеграл dx/(1-x)^3 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{\left(1 - x\right)^{3}} = - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{\left(1 - x\right)^{3}} = - \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

      2. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{\left(1 - x\right)^{3}} = \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1} = - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1} = - \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

         2. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$