Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл x*e^-x
Интеграл (tan(x))^3
Интеграл dx/(3-x^2)
Интеграл 1/(cos(x)^(6))
Идентичные выражения
два *x*log(пять *x)
2 умножить на x умножить на логарифм от (5 умножить на x)
два умножить на x умножить на логарифм от (пять умножить на x)
2xlog(5x)
2xlog5x
2*x*log(5*x)dx

Интеграл 2xlog(5*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                
  /                
 |                 
 |  2*x*log(5*x) dx
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{1} 2 x \log{\left(5 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

$\int 2 x \log{\left(5 x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(5 x \right)}\, dx$
1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
  Метод #1
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $x \log{\left(5 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(5 \right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :
      
      $\int u e^{2 u}\, du$
      
      Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = e^{2 u}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 e^{2 u} du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 u}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int x \log{\left(5 \right)}\, dx = \log{\left(5 \right)} \int x\, dx$
      
      Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2} \log{\left(5 \right)}}{2}$
    Результат есть: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(5 \right)}}{2}$
  Метод #2
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(5 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$
  Метод #3
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $x \log{\left(5 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(5 \right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :
      
      $\int u e^{2 u}\, du$
      
      Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 u}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int x \log{\left(5 \right)}\, dx = \log{\left(5 \right)} \int x\, dx$
      
      Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2} \log{\left(5 \right)}}{2}$
    Результат есть: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(5 \right)}}{2}$
Таким образом, результат будет: $x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \log{\left(5 \right)}$
Теперь упростить:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(25 \right)}\right)}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(25 \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(25 \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                       2                        
 |                       x     2           2       
 | 2*x*log(5*x) dx = C - -- + x *log(5) + x *log(x)
 |                       2                         
/

$$2\,\left({{x^2\,\log \left(5\,x\right)}\over{2}}-{{x^2}\over{4}} \right)$$

Упростить

Ответ [src]

-1/2 + log(5)

$${{50\,\log 5-25}\over{50}}$$

-1/2 + log(5)

$$- \frac{1}{2} + \log{\left(5 \right)}$$

Упростить

Численный ответ [src]

1.1094379124341

1.1094379124341

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл 2xlog(5*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл 2*x*log(5*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3

Интеграл 2xlog(5*x) d{x}