Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Решение интегралов/ 2/sin(2*x)

Интеграл 2/sin(2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
  1            
  /            
 |             
 |     2       
 |  -------- dx
 |  sin(2*x)   
 |             
/              
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx$$
Упростить
Подробное решение
Дан интеграл:
  /             
 |              
 |      2       
 | 1*-------- dx
 |   sin(2*x)   
 |              
/
Подинтегральная функция
   2    
--------
sin(2*x)
Домножим числитель и знаменатель на
sin(2*x)
получим
   2       2*sin(2*x)
-------- = ----------
sin(2*x)      2      
           sin (2*x)
Т.к.
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
то
   2               2     
sin (2*x) = 1 - cos (2*x)
преобразуем знаменатель
2*sin(2*x)     2*sin(2*x) 
---------- = -------------
   2                2     
sin (2*x)    1 - cos (2*x)
сделаем замену
u = cos(2*x)
тогда интеграл
  /                  
 |                   
 |   2*sin(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/                    
  
  /                  
 |                   
 |   2*sin(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/
Т.к. du = -2*dx*sin(2*x)
  /         
 |          
 |  -1      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/
Перепишем подинтегральную функцию
 -1      2*-1/2 /  1       1  \
------ = ------*|----- + -----|
     2     2    \1 - u   1 + u/
1 - u
тогда
                   /             /          
                  |             |           
                  |   1         |   1       
                  | ----- du    | ----- du  
  /               | 1 + u       | 1 - u     
 |                |             |           
 |  -1           /             /           =
 | ------ du = - ----------- - -----------  
 |      2             2             2       
 | 1 - u                                    
 |                                          
/                                           
  
= log(-1 + u)/2 - log(1 + u)/2
делаем обратную замену
u = cos(2*x)
Ответ
  /                                                           
 |                                                            
 |      2          log(-1 + cos(2*x))   log(1 + cos(2*x))     
 | 1*-------- dx = ------------------ - ----------------- + C0
 |   sin(2*x)              2                    2             
 |                                                            
/
где C0 - это постоянная, не зависящая от x
Ответ (Неопределённый) [src] 
  /                                                        
 |                                                         
 |    2              log(-1 + cos(2*x))   log(1 + cos(2*x))
 | -------- dx = C + ------------------ - -----------------
 | sin(2*x)                  2                    2        
 |                                                         
/
$${{\log \left(\cos \left(2\,x\right)-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos \left(2\,x\right)+1\right)}\over{2}}$$
Упростить
Ответ [src] 
     pi*I
oo + ----
      2
$${\it \%a}$$ 
=
= 
     pi*I
oo + ----
      2
$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$
Упростить
Численный ответ [src] 
44.5334688581098
44.5334688581098

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

    © Господин Экзамен – Калькулятор