Интеграл 4^(2*x+1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{4^{u}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4^{u}}{2}\, du = \frac{\int 4^{u}\, du}{2}$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{4^{2 x + 1}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $4^{2 x + 1} = 4 \cdot 4^{2 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 4 \cdot 4^{2 x}\, dx = 4 \int 4^{2 x}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{4^{u}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4^{u}}{2}\, du = \frac{\int 4^{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{4^{2 x}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cdot 4^{2 x}}{\log{\left(4 \right)}}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $4^{2 x + 1} = 4 \cdot 4^{2 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 4 \cdot 4^{2 x}\, dx = 4 \int 4^{2 x}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{4^{u}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4^{u}}{2}\, du = \frac{\int 4^{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{4^{2 x}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cdot 4^{2 x}}{\log{\left(4 \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{16^{x}}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{16^{x}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{16^{x}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$