Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 1/cosh(x)
Интеграл 1/(sqrt(x^2+1))
Интеграл 1/(x*sqrt(1-log(x)^(2)))
Интеграл (x^2)*sin(2*x)
Производная:
atan(x)/x^2
Предел функции:
atan(x)/x^2
Идентичные выражения
atan(x)/x^ два
арктангенс от (x) делить на x в квадрате
арктангенс от (x) делить на x в степени два
atan(x)/x2
atanx/x2
atan(x)/x²
atan(x)/x в степени 2
atanx/x^2
atan(x) разделить на x^2
atan(x)/x^2dx
Похожие выражения
(atan(x))/(x^2+1)
(atan(x))/x^2
(atan(x))/(x^2)
arctan(x)/x^2
arctanx/x^2

Интеграл atan(x)/x^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |  atan(x)   
 |  ------- dx
 |      2     
 |     x      
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
  
  $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

$\int \left(- \frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\, dx$
1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
  Метод #1
  1. пусть $u = \frac{1}{x}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$ :
    
    $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u}{u^{2} + 1}\right)\, du = - \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$
      
      пусть $u = u^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$
  Метод #2
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} = - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
    Результат есть: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
  Метод #3
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{x^{3} + x}$
  2. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x^{3} + x} = - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x}$
  3. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
    Результат есть: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
  Метод #4
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{x^{3} + x}$
  2. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x^{3} + x} = - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x}$
  3. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
    Результат есть: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

                       /    1 \          
  /                 log|1 + --|          
 |                     |     2|          
 | atan(x)             \    x /   atan(x)
 | ------- dx = C - ----------- - -------
 |     2                 2           x   
 |    x                                  
 |                                       
/

$$-{{\log \left(x^2+1\right)}\over{2}}+\log x-{{\arctan x}\over{x}}$$

Упростить

Ответ [src]

oo

$${\it \%a}$$

oo

$$\infty$$

Упростить

Численный ответ [src]

43.9584743803155

43.9584743803155

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл atan(x)/x^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #4