Господин Экзамен

Другие калькуляторы


atan(2*x)

Интеграл atan(2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1             
  /             
 |              
 |  atan(2*x) dx
 |              
/               
0               
$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx$$
Подробное решение
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть .

          Затем .

          Чтобы найти :

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть .

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

    Метод #2

    1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть .

      Затем .

      Чтобы найти :

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл есть .

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      Таким образом, результат будет:

  2. Добавляем постоянную интегрирования:


Ответ:

Ответ (Неопределённый) [src]
  /                      /       2\              
 |                    log\1 + 4*x /              
 | atan(2*x) dx = C - ------------- + x*atan(2*x)
 |                          4                    
/                                                
$${{2\,x\,\arctan \left(2\,x\right)-{{\log \left(4\,x^2+1\right) }\over{2}}}\over{2}}$$
График
Ответ [src]
  log(5)          
- ------ + atan(2)
    4             
$$-{{\log 5-4\,\arctan 2}\over{4}}$$
=
=
  log(5)          
- ------ + atan(2)
    4             
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{4} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Численный ответ [src]
0.704789239685565
0.704789239685565
График
Интеграл atan(2*x) d{x}

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.