Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2^cos(x)
-
x^2-x+10
-
-x^2-9
-
x^(1/x)
- Производная:
-
x^(1/x)
- Предел функции:
-
x^(1/x)
- Интеграл d{x}:
- x^(1/x)
-
Идентичные выражения
- x^(один /x)
- x в степени (1 делить на x)
- x в степени (один делить на x)
- x(1/x)
- x1/x
- x^1/x
- x^(1 разделить на x)
-
Похожие выражения
- (1+x)^(1/x)
- (x^3-16*x)^(1/(x^2-25))
График функции y = x^(1/x)
Решение
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$x^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e$$
Зн. экстремумы в точках:
/ -1\
\e /
(e, e )Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 33610.7485850034$$
$$x_{2} = 57942.4847067835$$
$$x_{3} = 43618.932582736$$
$$x_{4} = 36956.6362249476$$
$$x_{5} = 34727.2189284023$$
$$x_{6} = 28009.4451941101$$
$$x_{7} = 55747.4592642109$$
$$x_{8} = 38069.6475342003$$
$$x_{9} = 32493.05963509$$
$$x_{10} = 4.36777096705602$$
$$x_{11} = 42511.0842227899$$
$$x_{12} = 46936.8671226986$$
$$x_{13} = 40292.4295040997$$
$$x_{14} = 31374.1183597028$$
$$x_{15} = 50246.8751110307$$
$$x_{16} = 44725.8295428241$$
$$x_{17} = 29132.3439864666$$
$$x_{18} = 48041.0543039226$$
$$x_{19} = 26885.164415468$$
$$x_{20} = 41402.2587671693$$
$$x_{21} = 49144.3832768866$$
$$x_{22} = 51348.5500563983$$
$$x_{23} = 45831.7998080343$$
$$x_{24} = 39181.5686882772$$
$$x_{25} = 54648.8645194423$$
$$x_{26} = 25759.4750752963$$
$$x_{27} = 35842.5039425585$$
$$x_{28} = 30253.89094583$$
$$x_{29} = 56845.3273080066$$
$$x_{30} = 52449.4275796145$$
$$x_{31} = 53549.5263991257$$
$$x_{32} = 24632.3562385126$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[4.36777096705602, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 4.36777096705602\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 33610.7485850034$$
$$x_{2} = 57942.4847067835$$
$$x_{3} = 43618.932582736$$
$$x_{4} = 36956.6362249476$$
$$x_{5} = 34727.2189284023$$
$$x_{6} = 28009.4451941101$$
$$x_{7} = 55747.4592642109$$
$$x_{8} = 38069.6475342003$$
$$x_{9} = 32493.05963509$$
$$x_{10} = 4.36777096705602$$
$$x_{11} = 42511.0842227899$$
$$x_{12} = 46936.8671226986$$
$$x_{13} = 40292.4295040997$$
$$x_{14} = 31374.1183597028$$
$$x_{15} = 50246.8751110307$$
$$x_{16} = 44725.8295428241$$
$$x_{17} = 29132.3439864666$$
$$x_{18} = 48041.0543039226$$
$$x_{19} = 26885.164415468$$
$$x_{20} = 41402.2587671693$$
$$x_{21} = 49144.3832768866$$
$$x_{22} = 51348.5500563983$$
$$x_{23} = 45831.7998080343$$
$$x_{24} = 39181.5686882772$$
$$x_{25} = 54648.8645194423$$
$$x_{26} = 25759.4750752963$$
$$x_{27} = 35842.5039425585$$
$$x_{28} = 30253.89094583$$
$$x_{29} = 56845.3273080066$$
$$x_{30} = 52449.4275796145$$
$$x_{31} = 53549.5263991257$$
$$x_{32} = 24632.3562385126$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[4.36777096705602, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 4.36777096705602\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} x^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} x^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{1 \cdot \frac{1}{x}} = \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$x^{1 \cdot \frac{1}{x}} = - \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{1 \cdot \frac{1}{x}} = \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$x^{1 \cdot \frac{1}{x}} = - \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График