Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- sqrt(2*x-1)
- 6+27*x-3*x^3
- Производная:
-
(1+x)^(1/x)
- Предел функции:
-
(1+x)^(1/x)
-
Идентичные выражения
- (один +x)^(один /x)
- (1 плюс x) в степени (1 делить на x)
- (один плюс x) в степени (один делить на x)
- (1+x)(1/x)
- 1+x1/x
- 1+x^1/x
- (1+x)^(1 разделить на x)
-
Похожие выражения
- (1-x)^(1/x)
График функции y = (1+x)^(1/x)
Решение
Вы ввели
[src]
x _______ f(x) = \/ 1 + x
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}}$$
f = (x + 1)^(1/x)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{\left(- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} + \frac{1}{x + 1}\right)^{2}}{x} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 33351.507260858$$
$$x_{2} = 28853.3975120921$$
$$x_{3} = 25461.2257552751$$
$$x_{4} = 48926.8209166782$$
$$x_{5} = 40054.7526229321$$
$$x_{6} = 24326.4600582814$$
$$x_{7} = 37825.5858265746$$
$$x_{8} = 35591.3063506813$$
$$x_{9} = 43389.6836739697$$
$$x_{10} = 56640.6247473501$$
$$x_{11} = 51135.0160556731$$
$$x_{12} = 53339.7200843891$$
$$x_{13} = 50031.3669817923$$
$$x_{14} = 57739.3679767074$$
$$x_{15} = 41167.5317686861$$
$$x_{16} = 45607.5361227612$$
$$x_{17} = 42279.1627921657$$
$$x_{18} = 47821.3520867522$$
$$x_{19} = 27724.5899421305$$
$$x_{20} = 54440.8206019301$$
$$x_{21} = 52237.7926464356$$
$$x_{22} = 44499.1301965023$$
$$x_{23} = 31105.7195519117$$
$$x_{24} = 36709.1092974302$$
$$x_{25} = 29980.4129184309$$
$$x_{26} = 26593.8992266672$$
$$x_{27} = 38940.7849760761$$
$$x_{28} = 46714.933356596$$
$$x_{29} = 34472.1244637095$$
$$x_{30} = 55541.1154065021$$
$$x_{31} = 32229.39409249$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{\left(- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} + \frac{1}{x + 1}\right)^{2}}{x} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}\right)}{x}\right) = \frac{11 e}{12}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{\left(- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} + \frac{1}{x + 1}\right)^{2}}{x} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}\right)}{x}\right) = \frac{11 e}{12}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{\left(- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} + \frac{1}{x + 1}\right)^{2}}{x} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 33351.507260858$$
$$x_{2} = 28853.3975120921$$
$$x_{3} = 25461.2257552751$$
$$x_{4} = 48926.8209166782$$
$$x_{5} = 40054.7526229321$$
$$x_{6} = 24326.4600582814$$
$$x_{7} = 37825.5858265746$$
$$x_{8} = 35591.3063506813$$
$$x_{9} = 43389.6836739697$$
$$x_{10} = 56640.6247473501$$
$$x_{11} = 51135.0160556731$$
$$x_{12} = 53339.7200843891$$
$$x_{13} = 50031.3669817923$$
$$x_{14} = 57739.3679767074$$
$$x_{15} = 41167.5317686861$$
$$x_{16} = 45607.5361227612$$
$$x_{17} = 42279.1627921657$$
$$x_{18} = 47821.3520867522$$
$$x_{19} = 27724.5899421305$$
$$x_{20} = 54440.8206019301$$
$$x_{21} = 52237.7926464356$$
$$x_{22} = 44499.1301965023$$
$$x_{23} = 31105.7195519117$$
$$x_{24} = 36709.1092974302$$
$$x_{25} = 29980.4129184309$$
$$x_{26} = 26593.8992266672$$
$$x_{27} = 38940.7849760761$$
$$x_{28} = 46714.933356596$$
$$x_{29} = 34472.1244637095$$
$$x_{30} = 55541.1154065021$$
$$x_{31} = 32229.39409249$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{\left(- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} + \frac{1}{x + 1}\right)^{2}}{x} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}\right)}{x}\right) = \frac{11 e}{12}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{\left(- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} + \frac{1}{x + 1}\right)^{2}}{x} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}\right)}{x}\right) = \frac{11 e}{12}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 + x)^(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}} = \left(- x + 1\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$\left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}} = - \left(- x + 1\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}} = \left(- x + 1\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$\left(x + 1\right)^{1 \cdot \frac{1}{x}} = - \left(- x + 1\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График