Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^4-8*x^2-5
-
3*x^3-x^2-7*x
- 1-cos(3*x)
-
2*x^2-6*x+3
-
Идентичные выражения
- - один / четыре *x^ четыре +x^ два
- минус 1 делить на 4 умножить на x в степени 4 плюс x в квадрате
- минус один делить на четыре умножить на x в степени четыре плюс x в степени два
- -1/4*x4+x2
- -1/4*x⁴+x²
- -1/4*x в степени 4+x в степени 2
- -1/4x^4+x^2
- -1/4x4+x2
- -1 разделить на 4*x^4+x^2
-
Похожие выражения
- -1/4*x^4-x^2
- 1/4*x^4+x^2
График функции y = -1/4*x^4+x^2
Решение
Вы ввели
[src]
4
x 2
f(x) = - -- + x
4
$$f{\left(x \right)} = - \frac{x^{4}}{4} + x^{2}$$
f = -x^4/4 + x^2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{x^{4}}{4} + x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{x^{4}}{4} + x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- x^{3} + 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- x^{3} + 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___ (-\/ 2, 1)
___ (\/ 2, 1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 3 x^{2} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 3 x^{2} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x^{4}}{4} + x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{4}}{4} + x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x^{4}}{4} + x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{4}}{4} + x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -x^4/4 + x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x^{4}}{4} + x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{4}}{4} + x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x^{4}}{4} + x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{4}}{4} + x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{x^{4}}{4} + x^{2} = - \frac{x^{4}}{4} + x^{2}$$
- Да
$$- \frac{x^{4}}{4} + x^{2} = \frac{x^{4}}{4} - x^{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$- \frac{x^{4}}{4} + x^{2} = - \frac{x^{4}}{4} + x^{2}$$
- Да
$$- \frac{x^{4}}{4} + x^{2} = \frac{x^{4}}{4} - x^{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График