Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3+16)/x
- (x^3-27*x+54)/(x^3)
- sqrt(x)^2-1
-
sqrt(3)/2*x-sin(x)
- Интеграл d{x}:
-
x/(x^2+1)^2
- Производная:
-
x/(x^2+1)^2
-
Идентичные выражения
- x/(x^ два + один)^ два
- x делить на (x в квадрате плюс 1) в квадрате
- x делить на (x в степени два плюс один) в степени два
- x/(x2+1)2
- x/x2+12
- x/(x²+1)²
- x/(x в степени 2+1) в степени 2
- x/x^2+1^2
- x разделить на (x^2+1)^2
-
Похожие выражения
- x/(x^2-1)^2
- x/((x^2)+1)^2
График функции y = x/(x^2+1)^2
Решение
Вы ввели
[src]
x
f(x) = ---------
2
/ 2 \
\x + 1/
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
f = x/((x^2 + 1)^2)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 17025.8300696591$$
$$x_{2} = -38927.7323209959$$
$$x_{3} = 37363.9057313917$$
$$x_{4} = 11096.9508293614$$
$$x_{5} = -20283.7072775985$$
$$x_{6} = 15331.5208433594$$
$$x_{7} = -32995.141812677$$
$$x_{8} = -38080.207196563$$
$$x_{9} = -36385.1680059945$$
$$x_{10} = 41601.5496726855$$
$$x_{11} = 33126.3583237319$$
$$x_{12} = 16178.6518916848$$
$$x_{13} = 28041.4904927672$$
$$x_{14} = -31300.1604633294$$
$$x_{15} = 42449.0875005062$$
$$x_{16} = -41470.3270985658$$
$$x_{17} = 31431.3751377026$$
$$x_{18} = -26215.3926807132$$
$$x_{19} = 12790.504225716$$
$$x_{20} = -27062.8315909668$$
$$x_{21} = -24520.549154346$$
$$x_{22} = 10250.3796181979$$
$$x_{23} = -33842.6410205595$$
$$x_{24} = -17741.8726673034$$
$$x_{25} = 22109.5852761254$$
$$x_{26} = 40754.0146073646$$
$$x_{27} = 28888.9499392717$$
$$x_{28} = -18589.1211308922$$
$$x_{29} = -28757.7386512816$$
$$x_{30} = 39906.4824805783$$
$$x_{31} = 11943.6687592836$$
$$x_{32} = 0$$
$$x_{33} = -29605.2051269265$$
$$x_{34} = 13637.4353037633$$
$$x_{35} = 23804.3479553544$$
$$x_{36} = -16047.4885294021$$
$$x_{37} = -21131.0378020927$$
$$x_{38} = 30583.8929111256$$
$$x_{39} = -22825.7598445709$$
$$x_{40} = -15200.3654382736$$
$$x_{41} = -30452.6792719769$$
$$x_{42} = 35668.8732572414$$
$$x_{43} = -16894.6599134202$$
$$x_{44} = -11812.5640487131$$
$$x_{45} = -32147.6481435989$$
$$x_{46} = -37232.6856743107$$
$$x_{47} = -23673.1469943384$$
$$x_{48} = 20414.8966506568$$
$$x_{49} = -42317.8645113938$$
$$x_{50} = 21262.2305994173$$
$$x_{51} = 36516.3874515588$$
$$x_{52} = 38211.4278248492$$
$$x_{53} = 34821.3634468047$$
$$x_{54} = 22956.9583845$$
$$x_{55} = 18720.3022019605$$
$$x_{56} = -9272.96964180009$$
$$x_{57} = -10965.8666163506$$
$$x_{58} = 25499.1699170213$$
$$x_{59} = 9403.99483860338$$
$$x_{60} = 26346.5995523547$$
$$x_{61} = -13506.3005195012$$
$$x_{62} = -12659.3829773564$$
$$x_{63} = 19567.5861240751$$
$$x_{64} = -19436.4006315048$$
$$x_{65} = 39058.9534836425$$
$$x_{66} = -10119.3212352764$$
$$x_{67} = -35537.6544673896$$
$$x_{68} = -39775.2608173139$$
$$x_{69} = 32278.8637725529$$
$$x_{70} = -25367.9648198459$$
$$x_{71} = 24651.7522903592$$
$$x_{72} = -34690.1453612251$$
$$x_{73} = 33973.8583483916$$
$$x_{74} = 14484.4452020344$$
$$x_{75} = 27194.0400733442$$
$$x_{76} = -27910.2805438436$$
$$x_{77} = -40622.792474443$$
$$x_{78} = 29736.4176408609$$
$$x_{79} = -14353.2991989098$$
$$x_{80} = 17873.0486704095$$
$$x_{81} = -21978.3894419472$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 17025.8300696591$$
$$x_{2} = -38927.7323209959$$
$$x_{3} = 37363.9057313917$$
$$x_{4} = 11096.9508293614$$
$$x_{5} = -20283.7072775985$$
$$x_{6} = 15331.5208433594$$
$$x_{7} = -32995.141812677$$
$$x_{8} = -38080.207196563$$
$$x_{9} = -36385.1680059945$$
$$x_{10} = 41601.5496726855$$
$$x_{11} = 33126.3583237319$$
$$x_{12} = 16178.6518916848$$
$$x_{13} = 28041.4904927672$$
$$x_{14} = -31300.1604633294$$
$$x_{15} = 42449.0875005062$$
$$x_{16} = -41470.3270985658$$
$$x_{17} = 31431.3751377026$$
$$x_{18} = -26215.3926807132$$
$$x_{19} = 12790.504225716$$
$$x_{20} = -27062.8315909668$$
$$x_{21} = -24520.549154346$$
$$x_{22} = 10250.3796181979$$
$$x_{23} = -33842.6410205595$$
$$x_{24} = -17741.8726673034$$
$$x_{25} = 22109.5852761254$$
$$x_{26} = 40754.0146073646$$
$$x_{27} = 28888.9499392717$$
$$x_{28} = -18589.1211308922$$
$$x_{29} = -28757.7386512816$$
$$x_{30} = 39906.4824805783$$
$$x_{31} = 11943.6687592836$$
$$x_{32} = 0$$
$$x_{33} = -29605.2051269265$$
$$x_{34} = 13637.4353037633$$
$$x_{35} = 23804.3479553544$$
$$x_{36} = -16047.4885294021$$
$$x_{37} = -21131.0378020927$$
$$x_{38} = 30583.8929111256$$
$$x_{39} = -22825.7598445709$$
$$x_{40} = -15200.3654382736$$
$$x_{41} = -30452.6792719769$$
$$x_{42} = 35668.8732572414$$
$$x_{43} = -16894.6599134202$$
$$x_{44} = -11812.5640487131$$
$$x_{45} = -32147.6481435989$$
$$x_{46} = -37232.6856743107$$
$$x_{47} = -23673.1469943384$$
$$x_{48} = 20414.8966506568$$
$$x_{49} = -42317.8645113938$$
$$x_{50} = 21262.2305994173$$
$$x_{51} = 36516.3874515588$$
$$x_{52} = 38211.4278248492$$
$$x_{53} = 34821.3634468047$$
$$x_{54} = 22956.9583845$$
$$x_{55} = 18720.3022019605$$
$$x_{56} = -9272.96964180009$$
$$x_{57} = -10965.8666163506$$
$$x_{58} = 25499.1699170213$$
$$x_{59} = 9403.99483860338$$
$$x_{60} = 26346.5995523547$$
$$x_{61} = -13506.3005195012$$
$$x_{62} = -12659.3829773564$$
$$x_{63} = 19567.5861240751$$
$$x_{64} = -19436.4006315048$$
$$x_{65} = 39058.9534836425$$
$$x_{66} = -10119.3212352764$$
$$x_{67} = -35537.6544673896$$
$$x_{68} = -39775.2608173139$$
$$x_{69} = 32278.8637725529$$
$$x_{70} = -25367.9648198459$$
$$x_{71} = 24651.7522903592$$
$$x_{72} = -34690.1453612251$$
$$x_{73} = 33973.8583483916$$
$$x_{74} = 14484.4452020344$$
$$x_{75} = 27194.0400733442$$
$$x_{76} = -27910.2805438436$$
$$x_{77} = -40622.792474443$$
$$x_{78} = 29736.4176408609$$
$$x_{79} = -14353.2991989098$$
$$x_{80} = 17873.0486704095$$
$$x_{81} = -21978.3894419472$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
___ ___
-\/ 3 -3*\/ 3
(-------, ---------)
3 16 ___ ___ \/ 3 3*\/ 3 (-----, -------) 3 16
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} - 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} - 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/((x^2 + 1)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = - \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = - \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График