Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x^(-5)
- -1/(x^2-8*x+15)
-
x^2+sqrt(x)
-
|x-5|/(x-5)+5/x
- Интеграл d{x}:
- x/(x^2-1)^2
-
Идентичные выражения
- x/(x^ два - один)^ два
- x делить на (x в квадрате минус 1) в квадрате
- x делить на (x в степени два минус один) в степени два
- x/(x2-1)2
- x/x2-12
- x/(x²-1)²
- x/(x в степени 2-1) в степени 2
- x/x^2-1^2
- x разделить на (x^2-1)^2
-
Похожие выражения
- x/(x^2+1)^2
График функции y = x/(x^2-1)^2
Решение
Вы ввели
[src]
x
f(x) = ---------
2
/ 2 \
\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
f = x/((x^2 - 1*1)^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 22945.0573071609$$
$$x_{2} = 11072.3091520395$$
$$x_{3} = -42311.4096243535$$
$$x_{4} = 39051.9598251782$$
$$x_{5} = -16878.4853984547$$
$$x_{6} = -29595.9777734643$$
$$x_{7} = 21249.3803723555$$
$$x_{8} = 38204.2790179564$$
$$x_{9} = -40616.0682023929$$
$$x_{10} = -16030.4592776001$$
$$x_{11} = -23661.6064602865$$
$$x_{12} = 15313.6947073257$$
$$x_{13} = -15182.3860741083$$
$$x_{14} = -22813.7906651013$$
$$x_{15} = -11789.4194932989$$
$$x_{16} = 11920.7774961659$$
$$x_{17} = 20401.5127178497$$
$$x_{18} = -19422.3428903681$$
$$x_{19} = -36377.6604419003$$
$$x_{20} = 26336.230277608$$
$$x_{21} = -26204.9717446159$$
$$x_{22} = 17009.7796699387$$
$$x_{23} = 29727.2308152591$$
$$x_{24} = 19553.622232257$$
$$x_{25} = -30443.7087818787$$
$$x_{26} = 9374.90428216891$$
$$x_{27} = -38920.7151999899$$
$$x_{28} = 39899.6373793217$$
$$x_{29} = -10092.29453584$$
$$x_{30} = -24509.4076256731$$
$$x_{31} = -27052.737092296$$
$$x_{32} = 32270.4007511367$$
$$x_{33} = -32986.8627220526$$
$$x_{34} = 12769.1311938499$$
$$x_{35} = -31291.43292325$$
$$x_{36} = 0$$
$$x_{37} = 35661.2147583842$$
$$x_{38} = -33834.5693054934$$
$$x_{39} = 40747.3118833833$$
$$x_{40} = -34682.2708868702$$
$$x_{41} = 36508.9067380414$$
$$x_{42} = 10223.6976738124$$
$$x_{43} = -9243.46880165632$$
$$x_{44} = -21118.1081408212$$
$$x_{45} = -27900.492652453$$
$$x_{46} = 28031.748190538$$
$$x_{47} = 33118.1118739225$$
$$x_{48} = 27183.9940576599$$
$$x_{49} = -35529.96782414$$
$$x_{50} = -37225.3490351873$$
$$x_{51} = 41594.9835238138$$
$$x_{52} = 31422.6838625292$$
$$x_{53} = -32139.1507408333$$
$$x_{54} = 42442.6524721704$$
$$x_{55} = 16161.7601634659$$
$$x_{56} = -39768.3932412975$$
$$x_{57} = 33965.8176625065$$
$$x_{58} = -21965.9585469319$$
$$x_{59} = -12637.7892988554$$
$$x_{60} = -10940.9311813945$$
$$x_{61} = 25488.4558880833$$
$$x_{62} = 23792.8707458989$$
$$x_{63} = 24640.6697943983$$
$$x_{64} = 37356.5947362375$$
$$x_{65} = 30574.9607286225$$
$$x_{66} = -17726.4711883433$$
$$x_{67} = -25357.1956280906$$
$$x_{68} = -20270.2371532321$$
$$x_{69} = -18574.4221668727$$
$$x_{70} = 13617.3916429577$$
$$x_{71} = 22097.2278225587$$
$$x_{72} = 18705.7058128052$$
$$x_{73} = 34813.5185064768$$
$$x_{74} = -28748.239290691$$
$$x_{75} = -14334.2574401388$$
$$x_{76} = -41463.7402721613$$
$$x_{77} = 28879.4935255786$$
$$x_{78} = -13486.0629303382$$
$$x_{79} = -38073.0338727658$$
$$x_{80} = 17857.7597678008$$
$$x_{81} = 14465.575228032$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 22945.0573071609$$
$$x_{2} = 11072.3091520395$$
$$x_{3} = -42311.4096243535$$
$$x_{4} = 39051.9598251782$$
$$x_{5} = -16878.4853984547$$
$$x_{6} = -29595.9777734643$$
$$x_{7} = 21249.3803723555$$
$$x_{8} = 38204.2790179564$$
$$x_{9} = -40616.0682023929$$
$$x_{10} = -16030.4592776001$$
$$x_{11} = -23661.6064602865$$
$$x_{12} = 15313.6947073257$$
$$x_{13} = -15182.3860741083$$
$$x_{14} = -22813.7906651013$$
$$x_{15} = -11789.4194932989$$
$$x_{16} = 11920.7774961659$$
$$x_{17} = 20401.5127178497$$
$$x_{18} = -19422.3428903681$$
$$x_{19} = -36377.6604419003$$
$$x_{20} = 26336.230277608$$
$$x_{21} = -26204.9717446159$$
$$x_{22} = 17009.7796699387$$
$$x_{23} = 29727.2308152591$$
$$x_{24} = 19553.622232257$$
$$x_{25} = -30443.7087818787$$
$$x_{26} = 9374.90428216891$$
$$x_{27} = -38920.7151999899$$
$$x_{28} = 39899.6373793217$$
$$x_{29} = -10092.29453584$$
$$x_{30} = -24509.4076256731$$
$$x_{31} = -27052.737092296$$
$$x_{32} = 32270.4007511367$$
$$x_{33} = -32986.8627220526$$
$$x_{34} = 12769.1311938499$$
$$x_{35} = -31291.43292325$$
$$x_{36} = 0$$
$$x_{37} = 35661.2147583842$$
$$x_{38} = -33834.5693054934$$
$$x_{39} = 40747.3118833833$$
$$x_{40} = -34682.2708868702$$
$$x_{41} = 36508.9067380414$$
$$x_{42} = 10223.6976738124$$
$$x_{43} = -9243.46880165632$$
$$x_{44} = -21118.1081408212$$
$$x_{45} = -27900.492652453$$
$$x_{46} = 28031.748190538$$
$$x_{47} = 33118.1118739225$$
$$x_{48} = 27183.9940576599$$
$$x_{49} = -35529.96782414$$
$$x_{50} = -37225.3490351873$$
$$x_{51} = 41594.9835238138$$
$$x_{52} = 31422.6838625292$$
$$x_{53} = -32139.1507408333$$
$$x_{54} = 42442.6524721704$$
$$x_{55} = 16161.7601634659$$
$$x_{56} = -39768.3932412975$$
$$x_{57} = 33965.8176625065$$
$$x_{58} = -21965.9585469319$$
$$x_{59} = -12637.7892988554$$
$$x_{60} = -10940.9311813945$$
$$x_{61} = 25488.4558880833$$
$$x_{62} = 23792.8707458989$$
$$x_{63} = 24640.6697943983$$
$$x_{64} = 37356.5947362375$$
$$x_{65} = 30574.9607286225$$
$$x_{66} = -17726.4711883433$$
$$x_{67} = -25357.1956280906$$
$$x_{68} = -20270.2371532321$$
$$x_{69} = -18574.4221668727$$
$$x_{70} = 13617.3916429577$$
$$x_{71} = 22097.2278225587$$
$$x_{72} = 18705.7058128052$$
$$x_{73} = 34813.5185064768$$
$$x_{74} = -28748.239290691$$
$$x_{75} = -14334.2574401388$$
$$x_{76} = -41463.7402721613$$
$$x_{77} = 28879.4935255786$$
$$x_{78} = -13486.0629303382$$
$$x_{79} = -38073.0338727658$$
$$x_{80} = 17857.7597678008$$
$$x_{81} = 14465.575228032$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/((x^2 - 1*1)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = - \frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = \frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = - \frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = \frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График