Производная x^3/(x+1)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- x^{3} + 3 x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(2 x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$