Господин Экзамен

Другие калькуляторы


(x^3)/(x+1)

График функции y = (x^3)/(x+1)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
          3 
         x  
f(x) = -----
       x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x + 1}$$
f = x^3/(x + 1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.000103958710774365$$
$$x_{3} = 0.000101172668062256$$
$$x_{4} = -0.000108490164440812$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/(x + 1).
$$\frac{0^{3}}{0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x^{3}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3/2, 27/4)

(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x + 1} + 3\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x + 1} + 3\right)}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x + 1} + 3\right)}{x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x + 1} = - \frac{x^{3}}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x + 1} = \frac{x^{3}}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (x^3)/(x+1)