Производная x*log(x-2)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(x - 2 \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x - 2$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - 2\right)$:

      1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $\left(-1\right) 2$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x - 2}$

   В результате: $\frac{x}{x - 2} + \log{\left(x - 2 \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x + \left(x - 2\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x - 2}$

Ответ:

$\frac{x + \left(x - 2\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x - 2}$