Производная x*sqrt(x+1)^2

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \left(\sqrt{x + 1}\right)^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sqrt{x + 1}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x + 1}$:

      1. Заменим $u = x + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

         1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

      В результате последовательности правил:

      $1$

   В результате: $x + \left(\sqrt{x + 1}\right)^{2}$

2. Теперь упростим:

   $2 x + 1$

Ответ:

$2 x + 1$