Производная 2*(t)*x*(sqrt(x)+1)^2^2

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2^{2}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \sqrt{x} + 1$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2^{2}}$ получим $\frac{4 u^{2^{2}}}{u}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + 1\right)$:

         1. дифференцируем $\sqrt{x} + 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{2 \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2^{2}}}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)}$

      В результате: $\frac{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2^{2}}}{\sqrt{x} + 1} + \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2^{2}}$

   Таким образом, в результате: $2 t \left(\frac{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2^{2}}}{\sqrt{x} + 1} + \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2^{2}}\right)$

2. Теперь упростим:

   $2 t \left(\sqrt{x} + 1\right)^{3} \cdot \left(3 \sqrt{x} + 1\right)$

Ответ:

$2 t \left(\sqrt{x} + 1\right)^{3} \cdot \left(3 \sqrt{x} + 1\right)$