Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная cos(sin(x)^(2))
Производная 7/x^4-11*x^2
Производная 3*t^2-e^(3*t)+1
Производная (1/(1+(x^2)))
Интеграл d{x}:
sin(x/2)*cos(x/2)
Идентичные выражения
sin(x/ два)*cos(x/ два)
синус от (x делить на 2) умножить на косинус от (x делить на 2)
синус от (x делить на два) умножить на косинус от (x делить на два)
sin(x/2)cos(x/2)
sinx/2cosx/2
sin(x разделить на 2)*cos(x разделить на 2)
Похожие выражения
-sin(x)/2*cos(x)/2
5/(sin(x/2))*(cos(x/2))

Производная функции/ sin(x/2)*cos(x/2)

Производная sin(x/2)*cos(x/2)

Решение

Вы ввели [src]

   /x\    /x\
sin|-|*cos|-|
   \2/    \2/

$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

d /   /x\    /x\\
--|sin|-|*cos|-||
dx\   \2/    \2//

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
$g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
В результате: $- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
Теперь упростим:

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$

Ответ:

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

   2/x\      2/x\
cos |-|   sin |-|
    \2/       \2/
------- - -------
   2         2

$$- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$

Упростить

Вторая производная [src]

    /x\    /x\
-cos|-|*sin|-|
    \2/    \2/

$$- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

   2/x\      2/x\
sin |-| - cos |-|
    \2/       \2/
-----------------
        2

$$\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sin(x/2)*cos(x/2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение