Производная sec(tan(x))

Решение

Вы ввели [src]

sec(tan(x))

$$\sec{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

d              
--(sec(tan(x)))
dx

$$\frac{d}{d x} \sec{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

$\sec{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} = \frac{1}{\cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$
Заменим $u = \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ .
В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ :
1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$

Ответ:

$\frac{\sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/       2   \                        
\1 + tan (x)/*sec(tan(x))*tan(tan(x))

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \sec{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/       2   \ /   2         /       2   \   /       2   \ /       2        \                       \            
\1 + tan (x)/*\tan (tan(x))*\1 + tan (x)/ + \1 + tan (x)/*\1 + tan (tan(x))/ + 2*tan(x)*tan(tan(x))/*sec(tan(x))

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 1\right) + 2 \tan{\left(x \right)} \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right) \sec{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

              /             2                                                                                     2                                                                                                                 \            
/       2   \ |/       2   \     3             /       2   \                    2                    /       2   \  /       2        \                    2         /       2   \            /       2   \ /       2        \       |            
\1 + tan (x)/*\\1 + tan (x)/ *tan (tan(x)) + 2*\1 + tan (x)/*tan(tan(x)) + 4*tan (x)*tan(tan(x)) + 5*\1 + tan (x)/ *\1 + tan (tan(x))/*tan(tan(x)) + 6*tan (tan(x))*\1 + tan (x)/*tan(x) + 6*\1 + tan (x)/*\1 + tan (tan(x))/*tan(x)/*sec(tan(x))

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{3}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 4 \tan^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right) \sec{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sec(tan(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение