Производная sec(tan(x)^(-1))

Решение

Вы ввели [src]

   /  1   \
sec|------|
   \tan(x)/

$$\sec{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}$$

d /   /  1   \\
--|sec|------||
dx\   \tan(x)//

$$\frac{d}{d x} \sec{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

$\sec{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} = \frac{1}{\cos{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}$
Заменим $u = \cos{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}$ .
В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$ :
  1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Производная синуса есть косинус:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. Производная косинус есть минус синус:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{\sin{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}$

Ответ:

$- \frac{\sin{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/        2   \    /  1   \    /  1   \
\-1 - tan (x)/*sec|------|*tan|------|
                  \tan(x)/    \tan(x)/
--------------------------------------
                  2                   
               tan (x)

$$\frac{\left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} \sec{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

              /                     2/  1   \ /       2   \   /       2   \ /       2/  1   \\     /       2   \    /  1   \\            
              |                  tan |------|*\1 + tan (x)/   \1 + tan (x)/*|1 + tan |------||   2*\1 + tan (x)/*tan|------||            
/       2   \ |       /  1   \       \tan(x)/                               \        \tan(x)//                      \tan(x)/|    /  1   \
\1 + tan (x)/*|- 2*tan|------| + -------------------------- + -------------------------------- + ---------------------------|*sec|------|
              |       \tan(x)/               3                               3                                2             |    \tan(x)/
              \                           tan (x)                         tan (x)                          tan (x)          /            
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  tan(x)

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- 2 \tan{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\tan^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} + 1\right)}{\tan^{3}{\left(x \right)}}\right) \sec{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

              /                               2                               2                               2                                     2                                                                                                                                 2                               \            
              |                  /       2   \     3/  1   \     /       2   \     2/  1   \     /       2   \  /       2/  1   \\     /       2   \     /  1   \        2/  1   \ /       2   \     /       2   \ /       2/  1   \\      /       2   \    /  1   \     /       2   \  /       2/  1   \\    /  1   \|            
              |                  \1 + tan (x)/ *tan |------|   6*\1 + tan (x)/ *tan |------|   6*\1 + tan (x)/ *|1 + tan |------||   6*\1 + tan (x)/ *tan|------|   6*tan |------|*\1 + tan (x)/   6*\1 + tan (x)/*|1 + tan |------||   10*\1 + tan (x)/*tan|------|   5*\1 + tan (x)/ *|1 + tan |------||*tan|------||            
/       2   \ |       /  1   \                      \tan(x)/                        \tan(x)/                    \        \tan(x)//                       \tan(x)/         \tan(x)/                                 \        \tan(x)//                       \tan(x)/                    \        \tan(x)//    \tan(x)/|    /  1   \
\1 + tan (x)/*|- 4*tan|------| - --------------------------- - ----------------------------- - ----------------------------------- - ---------------------------- + ---------------------------- + ---------------------------------- + ---------------------------- - -----------------------------------------------|*sec|------|
              |       \tan(x)/                6                              5                                  5                                 4                              3                                 3                                 2                                        6                       |    \tan(x)/
              \                            tan (x)                        tan (x)                            tan (x)                           tan (x)                        tan (x)                           tan (x)                           tan (x)                                  tan (x)                    /

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- 4 \tan{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} + \frac{10 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\tan^{3}{\left(x \right)}} - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\tan^{4}{\left(x \right)}} - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\tan^{5}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{3}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\tan^{6}{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} + 1\right)}{\tan^{3}{\left(x \right)}} - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} + 1\right)}{\tan^{5}{\left(x \right)}} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{\tan^{6}{\left(x \right)}}\right) \sec{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sec(tan(x)^(-1))

График:

Кусочно-заданная:

Решение