Производная log(x/(x+1))

Вы ввели [src]

   /  x  \
log|-----|
   \x + 1/

$$\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}$$

d /   /  x  \\
--|log|-----||
dx\   \x + 1//

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \frac{x}{x + 1}$ .
Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{x + 1}$ :
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    В результате: $1$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{x + 1}{x \left(x + 1\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

Ответ:

$\frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

        /  1        x    \
(x + 1)*|----- - --------|
        |x + 1          2|
        \        (x + 1) /
--------------------------
            x

$$\frac{\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right)}{x}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/       x  \ /1     1  \
|-1 + -----|*|- + -----|
\     1 + x/ \x   1 + x/
------------------------
           x

$$\frac{\left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right)}{x}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /       x  \ /  1       1           1    \
2*|-1 + -----|*|- -- - -------- - ---------|
  \     1 + x/ |   2          2   x*(1 + x)|
               \  x    (1 + x)             /
--------------------------------------------
                     x

$$\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(x/(x+1))

График:

Кусочно-заданная:

Решение