Производная cos(x)/(1+cos(x))

Решение

Вы ввели [src]

  cos(x)  
----------
1 + cos(x)

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

d /  cos(x)  \
--|----------|
dx\1 + cos(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $\cos{\left(x \right)} + 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  В результате: $- \sin{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$

Ответ:

$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

    sin(x)     cos(x)*sin(x)
- ---------- + -------------
  1 + cos(x)               2
               (1 + cos(x))

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                       /     2             \       
                       |2*sin (x)          |       
               2       |---------- + cos(x)|*cos(x)
          2*sin (x)    \1 + cos(x)         /       
-cos(x) - ---------- + ----------------------------
          1 + cos(x)            1 + cos(x)         
---------------------------------------------------
                     1 + cos(x)

$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

/                                           /                         2     \       \       
|      /     2             \                |      6*cos(x)      6*sin (x)  |       |       
|      |2*sin (x)          |                |-1 + ---------- + -------------|*cos(x)|       
|    3*|---------- + cos(x)|                |     1 + cos(x)               2|       |       
|      \1 + cos(x)         /    3*cos(x)    \                  (1 + cos(x)) /       |       
|1 - ----------------------- - ---------- + ----------------------------------------|*sin(x)
\           1 + cos(x)         1 + cos(x)                  1 + cos(x)               /       
--------------------------------------------------------------------------------------------
                                         1 + cos(x)

$$\frac{\left(\frac{\left(-1 + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + 1 - \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right)}{\cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cos(x)/(1+cos(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение