Производная cos(x)/(1-cos(x))

Решение

Вы ввели [src]

  cos(x)  
----------
1 - cos(x)

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{- \cos{\left(x \right)} + 1}$$

d /  cos(x)  \
--|----------|
dx\1 - cos(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \cos{\left(x \right)} + 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $1 - \cos{\left(x \right)}$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Таким образом, в результате: $\sin{\left(x \right)}$
  В результате: $\sin{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$

Ответ:

$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

    sin(x)     cos(x)*sin(x)
- ---------- - -------------
  1 - cos(x)               2
               (1 - cos(x))

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(- \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

              /      2             \                
              | 2*sin (x)          |                
      2       |----------- + cos(x)|*cos(x)         
 2*sin (x)    \-1 + cos(x)         /                
----------- - ----------------------------- + cos(x)
-1 + cos(x)            -1 + cos(x)                  
----------------------------------------------------
                    -1 + cos(x)

$$\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

/                                              /                          2      \       \       
|       /      2             \                 |       6*cos(x)      6*sin (x)   |       |       
|       | 2*sin (x)          |                 |-1 + ----------- + --------------|*cos(x)|       
|     3*|----------- + cos(x)|                 |     -1 + cos(x)                2|       |       
|       \-1 + cos(x)         /     3*cos(x)    \                   (-1 + cos(x)) /       |       
|-1 + ------------------------ + ----------- - ------------------------------------------|*sin(x)
\           -1 + cos(x)          -1 + cos(x)                  -1 + cos(x)                /       
-------------------------------------------------------------------------------------------------
                                           -1 + cos(x)

$$\frac{\left(- \frac{\left(-1 + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - 1 + \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cos(x)/(1-cos(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение