Производная tan(3*(x)^4)

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(3 x^{4} \right)} = \frac{\sin{\left(3 x^{4} \right)}}{\cos{\left(3 x^{4} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x^{4} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x^{4} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 3 x^{4}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x^{4}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

         Таким образом, в результате: $12 x^{3}$

      В результате последовательности правил:

      $12 x^{3} \cos{\left(3 x^{4} \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 3 x^{4}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x^{4}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

         Таким образом, в результате: $12 x^{3}$

      В результате последовательности правил:

      $- 12 x^{3} \sin{\left(3 x^{4} \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{12 x^{3} \sin^{2}{\left(3 x^{4} \right)} + 12 x^{3} \cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{12 x^{3}}{\cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$

Ответ:

$\frac{12 x^{3}}{\cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$