Производная sin(pi*x)/x

Вы ввели [src]

sin(pi*x)
---------
    x

$$\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x}$$

d /sin(pi*x)\
--|---------|
dx\    x    /

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \pi x$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \pi x$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\pi$
  В результате последовательности правил:
  
  $\pi \cos{\left(\pi x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\pi x \cos{\left(\pi x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2}}$

Ответ:

$\frac{\pi x \cos{\left(\pi x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  sin(pi*x)   pi*cos(pi*x)
- --------- + ------------
       2           x      
      x

$$\frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

    2             2*sin(pi*x)   2*pi*cos(pi*x)
- pi *sin(pi*x) + ----------- - --------------
                        2             x       
                       x                      
----------------------------------------------
                      x

$$\frac{- \pi^{2} \sin{\left(\pi x \right)} - \frac{2 \pi \cos{\left(\pi x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2}}}{x}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                    2                           
    3             6*sin(pi*x)   3*pi *sin(pi*x)   6*pi*cos(pi*x)
- pi *cos(pi*x) - ----------- + --------------- + --------------
                        3              x                 2      
                       x                                x       
----------------------------------------------------------------
                               x

$$\frac{- \pi^{3} \cos{\left(\pi x \right)} + \frac{3 \pi^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{x} + \frac{6 \pi \cos{\left(\pi x \right)}}{x^{2}} - \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{3}}}{x}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sin(pi*x)/x

График:

Кусочно-заданная:

Решение