Вы ввели:

sin(pi*x)/(x+1)

Что Вы имели ввиду?

sin(pi*x)/(x + 1)

sin(pi*x)/x + 1

sin(pi*x)/(x + 1)

sin(pi*x)/x + 1

sin(pi*x)/(x + 1)

sin(pi*x)/x + 1

sin(pi*x)/x + 1

Производная sin(pi*x)/(x+1)

Решение

Вы ввели [src]

sin(pi*x)
---------
  x + 1

$$\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x + 1}$$

d /sin(pi*x)\
--|---------|
dx\  x + 1  /

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x + 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \pi x$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \pi x$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\pi$
  В результате последовательности правил:
  
  $\pi \cos{\left(\pi x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  В результате: $1$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\pi \left(x + 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{\pi \left(x + 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  sin(pi*x)   pi*cos(pi*x)
- --------- + ------------
          2      x + 1    
   (x + 1)

$$\frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{x + 1} - \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

    2             2*sin(pi*x)   2*pi*cos(pi*x)
- pi *sin(pi*x) + ----------- - --------------
                           2        1 + x     
                    (1 + x)                   
----------------------------------------------
                    1 + x

$$\frac{- \pi^{2} \sin{\left(\pi x \right)} - \frac{2 \pi \cos{\left(\pi x \right)}}{x + 1} + \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x + 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                    2                           
    3             6*sin(pi*x)   3*pi *sin(pi*x)   6*pi*cos(pi*x)
- pi *cos(pi*x) - ----------- + --------------- + --------------
                           3         1 + x                  2   
                    (1 + x)                          (1 + x)    
----------------------------------------------------------------
                             1 + x

$$\frac{- \pi^{3} \cos{\left(\pi x \right)} + \frac{3 \pi^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{x + 1} + \frac{6 \pi \cos{\left(\pi x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x + 1\right)^{3}}}{x + 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Что Вы имели ввиду?

Вы ввели:

Что Вы имели ввиду?

Производная sin(pi*x)/(x+1)

График:

Кусочно-заданная:

Решение