Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная cos(sin(x)^(2))
Производная 7/x^4-11*x^2
Производная 3*t^2-e^(3*t)+1
Производная (1/(1+(x^2)))
Идентичные выражения
sqrt(один +tan(x+ один /x))
квадратный корень из (1 плюс тангенс от (x плюс 1 делить на x))
квадратный корень из (один плюс тангенс от (x плюс один делить на x))
√(1+tan(x+1/x))
sqrt1+tanx+1/x
sqrt(1+tan(x+1 разделить на x))
Похожие выражения
sqrt(1-tan(x+1/x))
sqrt(1+tan(x-1/x))
Что Вы имели ввиду?
sqrt(1 + tan((x + 1)/x))
sqrt(1 + tan(x + 1/x))
sqrt(1 + tan(x + 1/x))

Вы ввели:

sqrt(1+tan(x+1/x))

Что Вы имели ввиду?

sqrt(1 + tan((x + 1)/x))

sqrt(1 + tan(x + 1/x))

sqrt(1 + tan(x + 1/x))

Производная sqrt(1+tan(x+1/x))

Решение

Вы ввели [src]

    __________________
   /        /      1\ 
  /  1 + tan|x + 1*-| 
\/          \      x/

$$\sqrt{\tan{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1}$$

  /    __________________\
d |   /        /      1\ |
--|  /  1 + tan|x + 1*-| |
dx\\/          \      x/ /

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\tan{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\tan{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1\right)$ :
1. дифференцируем $\tan{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
  3. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = x + 1 \cdot \frac{1}{x}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)$ :
      1. дифференцируем $x + 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:
        
        В силу правила, применим: $x$ получим $1$
        
        Применим правило производной частного:
        
        $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
        
        $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
        
        Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
        
        Производная постоянной $1$ равна нулю.
        
        Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
        
        В силу правила, применим: $x$ получим $1$
        
        Теперь применим правило производной деления:
        
        $- \frac{1}{x^{2}}$
        
        В результате: $1 - \frac{1}{x^{2}}$
      В результате последовательности правил:
      
      $\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \cos{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = x + 1 \cdot \frac{1}{x}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)$ :
      1. дифференцируем $x + 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:
        
        В силу правила, применим: $x$ получим $1$
        
        Применим правило производной частного:
        
        $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
        
        $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
        
        Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
        
        Производная постоянной $1$ равна нулю.
        
        Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
        
        В силу правила, применим: $x$ получим $1$
        
        Теперь применим правило производной деления:
        
        $- \frac{1}{x^{2}}$
        
        В результате: $1 - \frac{1}{x^{2}}$
      В результате последовательности правил:
      
      $- \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin^{2}{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
  В результате: $\frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin^{2}{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin^{2}{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{2 \sqrt{\tan{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1} \cos^{2}{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{x^{2} - 1}{2 x^{2} \sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1} \cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}$

Ответ:

$\frac{x^{2} - 1}{2 x^{2} \sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1} \cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/       2/      1\\ /    1 \
|1 + tan |x + 1*-||*|1 - --|
\        \      x// |     2|
                    \    x /
----------------------------
        __________________  
       /        /      1\   
  2*  /  1 + tan|x + 1*-|   
    \/          \      x/

$$\frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{2 \sqrt{\tan{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                  /                                    2                  \
                  |                            /    1 \  /       2/    1\\|
                  |                            |1 - --| *|1 + tan |x + -|||
                  |             2              |     2|  \        \    x//|
/       2/    1\\ |1    /    1 \     /    1\   \    x /                   |
|1 + tan |x + -||*|-- + |1 - --| *tan|x + -| - ---------------------------|
\        \    x// | 3   |     2|     \    x/          /       /    1\\    |
                  |x    \    x /                    4*|1 + tan|x + -||    |
                  \                                   \       \    x//    /
---------------------------------------------------------------------------
                                ________________                           
                               /        /    1\                            
                              /  1 + tan|x + -|                            
                            \/          \    x/

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} - \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4 \left(\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)} + \frac{1}{x^{3}}\right)}{\sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                  /                                                                                                          2         3                                            3                             \
                  |                                                                 /    1 \    /    1\     /       2/    1\\  /    1 \      /       2/    1\\ /    1 \     /    1 \  /       2/    1\\    /    1\|
                  |                                                               6*|1 - --|*tan|x + -|   3*|1 + tan |x + -|| *|1 - --|    3*|1 + tan |x + -||*|1 - --|   3*|1 - --| *|1 + tan |x + -||*tan|x + -||
                  |               3                               3                 |     2|    \    x/     \        \    x//  |     2|      \        \    x// |     2|     |     2|  \        \    x//    \    x/|
/       2/    1\\ |  3    /    1 \  /       2/    1\\     /    1 \     2/    1\     \    x /                                   \    x /                        \    x /     \    x /                              |
|1 + tan |x + -||*|- -- + |1 - --| *|1 + tan |x + -|| + 2*|1 - --| *tan |x + -| + --------------------- + ------------------------------ - ---------------------------- - ----------------------------------------|
\        \    x// |   4   |     2|  \        \    x//     |     2|      \    x/              3                                   2               3 /       /    1\\                    /       /    1\\           |
                  |  x    \    x /                        \    x /                          x                    /       /    1\\             2*x *|1 + tan|x + -||                  2*|1 + tan|x + -||           |
                  |                                                                                            8*|1 + tan|x + -||                  \       \    x//                    \       \    x//           |
                  \                                                                                              \       \    x//                                                                                 /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                    ________________                                                                                               
                                                                                                   /        /    1\                                                                                                
                                                                                                  /  1 + tan|x + -|                                                                                                
                                                                                                \/          \    x/

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(2 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right) - \frac{3 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right) \tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{2 \left(\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)} + \frac{3 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \left(\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{6 \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} - \frac{3 \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{2 x^{3} \left(\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)} - \frac{3}{x^{4}}\right)}{\sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Что Вы имели ввиду?

Вы ввели:

Что Вы имели ввиду?

Производная sqrt(1+tan(x+1/x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение