Производная (sin(x))^5*(e^x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin^{5}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $5 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   В результате: $e^{x} \sin^{5}{\left(x \right)} + 5 e^{x} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(\sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} \sin^{4}{\left(x \right)}$

Ответ:

$\left(\sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} \sin^{4}{\left(x \right)}$