Производная e^xcos(x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   В результате: $- e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Ответ:

$\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$