Господин Экзамен

Lang:

Производная 1/2(e^x)cos(x)

Вы ввели [src]

 x       
e *cos(x)
---------
    2

$$\frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$$

  / x       \
d |e *cos(x)|
--|---------|
dx\    2    /

$$\frac{d}{d x} \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$$

Преобразовать

Подробное решение

Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
1. Применяем правило производной умножения:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = e^{x}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная $e^{x}$ само оно.
  $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  В результате: $- e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$
Таким образом, в результате: $- \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
Теперь упростим:

$\frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

График

Первая производная [src]

        x    x       
cos(x)*e    e *sin(x)
--------- - ---------
    2           2

$$- \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  x       
-e *sin(x)

$$- e^{x} \sin{\left(x \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                    x
-(cos(x) + sin(x))*e

$$- \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$

Упростить

График

Производная 1/2*(e^x)*cos(x)