Производная e^(1/(x+1))

1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x + 1}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x + 1}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Ответ:

$- \frac{e^{\frac{1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{2}}$