Господин Экзамен
Разложить многочлен на множители x^4-3*x^2+1
Решение
Разложение на множители
[src]
/ ___\ / ___\ / ___\ / ___\ | 1 \/ 5 | | 1 \/ 5 | | 1 \/ 5 | | 1 \/ 5 | 1*|x + - - -----|*|x + - - + -----|*|x + - - - -----|*|x + - + -----| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 /
$$\left(x - \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right)\right) 1 \left(x + \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right)\right) \left(x - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right) \left(x + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right)$$
(((1*(x + (1/2 - sqrt(5)/2)))*(x - (1/2 + sqrt(5)/2)))*(x - (1/2 - sqrt(5)/2)))*(x + (1/2 + sqrt(5)/2))
Выделение полного квадрата
Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$x^{4} - 3 x^{2} + 1$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a_{0} x^{4} + b_{0} x^{2} + c_{0} = a_{0} \left(x^{2} + m_{0}\right)^{2} + n_{0}$$
где
$$m_{0} = \frac{b_{0}}{2 a_{0}}$$
$$n_{0} = \frac{4 a_{0} c_{0} - b_{0}^{2}}{4 a_{0}}$$
В нашем случае
$$a_{0} = 1$$
$$b_{0} = -3$$
$$c_{0} = 1$$
Тогда
$$m_{0} = - \frac{3}{2}$$
$$n_{0} = - \frac{5}{4}$$
Итак,
$$\left(x^{2} - \frac{3}{2}\right)^{2} - \frac{5}{4}$$
$$x^{4} - 3 x^{2} + 1$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a_{0} x^{4} + b_{0} x^{2} + c_{0} = a_{0} \left(x^{2} + m_{0}\right)^{2} + n_{0}$$
где
$$m_{0} = \frac{b_{0}}{2 a_{0}}$$
$$n_{0} = \frac{4 a_{0} c_{0} - b_{0}^{2}}{4 a_{0}}$$
В нашем случае
$$a_{0} = 1$$
$$b_{0} = -3$$
$$c_{0} = 1$$
Тогда
$$m_{0} = - \frac{3}{2}$$
$$n_{0} = - \frac{5}{4}$$
Итак,
$$\left(x^{2} - \frac{3}{2}\right)^{2} - \frac{5}{4}$$
Комбинаторика
[src]
/ 2\ / 2 \ \-1 + x + x /*\-1 + x - x/
$$\left(x^{2} - x - 1\right) \left(x^{2} + x - 1\right)$$
(-1 + x + x^2)*(-1 + x^2 - x)