Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел tan(x)^x
-
Предел (1+sin(x))^cot(x)
-
Предел (1-cos(x))^x
-
Предел (1+2*x)^(x/3)
-
Идентичные выражения
- x+sin(два *x)/x
- x плюс синус от (2 умножить на x) делить на x
- x плюс синус от (два умножить на x) делить на x
- x+sin(2x)/x
- x+sin2x/x
- x+sin(2*x) разделить на x
-
Похожие выражения
- (-2*sin(x)+sin(2*x))/x^3
- (-sin(x)+sin(2*x))/x
- (2*sin(x)+sin(2*x))/x
- (-tan(2*x)+sin(2*x))/x^3
- (x+sin(2*x))/x
- x-sin(2*x)/x
Предел функции x+sin(2*x)/x
Решение
Вы ввели
[src]
/ sin(2*x)\ lim |x + --------| x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Limit(x + sin(2*x)/x, x, oo, dir='-')
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \sin{\left(2 \right)} + 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \sin{\left(2 \right)} + 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \sin{\left(2 \right)} + 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \sin{\left(2 \right)} + 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→-oo
График