Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (pi-x)*cot(x)
-
Предел 4*n/(-1+n)
-
Предел 8^(1/(2+x))
-
Предел (1+x^3)/(1+x)
- График функции y =:
-
(1+x^3)/(1+x)
-
Идентичные выражения
- (один +x^ три)/(один +x)
- (1 плюс x в кубе ) делить на (1 плюс x)
- (один плюс x в степени три) делить на (один плюс x)
- (1+x3)/(1+x)
- 1+x3/1+x
- (1+x³)/(1+x)
- (1+x в степени 3)/(1+x)
- 1+x^3/1+x
- (1+x^3) разделить на (1+x)
-
Похожие выражения
- ((1+x)^3-(-1+x)^3)/(1+x^2)
- (1+x^3)/(1-x)
- (-1+x^3)/(1+x^3)
- ((1+x)^3-(-1+x)^3)/((1+x)^2+(-1+x)^2)
- (-1+x^3)/(1+x)
- (1+x^3)/(1+x^2)
- (1-x^3)/(1+x)
Предел функции (1+x^3)/(1+x)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 3\
|1 + x |
lim |------|
x->oo\1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right)$$
Limit((1 + x^3)/(1 + x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{3} + 1}{u^{3} + u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{0^{3} + 1}{0^{2} + 0^{3}} = \infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{3} + 1}{u^{3} + u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{0^{3} + 1}{0^{2} + 0^{3}} = \infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = \infty$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x + 1}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
График