Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (1-5/x)^(2*x)
-
Предел log(3+2*x)
-
Предел x^(-5)
-
Предел cos(x)^(x^(-2))
-
Идентичные выражения
- (три +x)/x
- (3 плюс x) делить на x
- (три плюс x) делить на x
- 3+x/x
- (3+x) разделить на x
-
Похожие выражения
- (-3+x)/x
- (3-x)/x
Предел функции (3+x)/x
Решение
Вы ввели
[src]
/3 + x\ lim |-----| x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right)$$
Limit((3 + x)/x, x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(3 u + 1\right)$$
=
$$3 \cdot 0 + 1 = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(3 u + 1\right)$$
=
$$3 \cdot 0 + 1 = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = 1$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 3\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 3\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = 4$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = 4$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = 4$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = 4$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
График