Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел sin(x)^2/x
-
Предел x/2
-
Предел 1-cos(3*x)
-
Предел (7+n)/(5+n)
-
Идентичные выражения
- (два +x)/(один +x)
- (2 плюс x) делить на (1 плюс x)
- (два плюс x) делить на (один плюс x)
- 2+x/1+x
- (2+x) разделить на (1+x)
-
Похожие выражения
- (-2+x)/(1+x)
- (2+x)/(1+x^2)
- (2-x)/(1+x)
- (2+x)/(1-x)
Предел функции (2+x)/(1+x)
Решение
Вы ввели
[src]
/2 + x\ lim |-----| x->oo\1 + x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)$$
Limit((2 + x)/(1 + x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 1}{u + 1}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0 + 1}{0 + 1} = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 1}{u + 1}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0 + 1}{0 + 1} = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 1$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 2\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 2\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
График