Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел -2+x^2-4/x
-
Предел sin(8*x)/tan(5*x)
-
Предел ((-7+6*n)/(4+6*n))^(2+3*n)
-
Предел sin(x)/(8*x)
- Интеграл d{x}:
- (1+x)/x^2
-
Идентичные выражения
- (один +x)/x^ два
- (1 плюс x) делить на x в квадрате
- (один плюс x) делить на x в степени два
- (1+x)/x2
- 1+x/x2
- (1+x)/x²
- (1+x)/x в степени 2
- 1+x/x^2
- (1+x) разделить на x^2
-
Похожие выражения
- (-1+sqrt(1+x))/x^2
- ((-1+x)/x)^(2-3*x)
- (-1+x)/x^2
- (1-x)/x^2
-
Что Вы имели ввиду?
- (1 + x)/(x^2)
- (1 + x)*2/x
- (1 + x)/(x^2)
- 1 + x/(x^2)
- 1 + x*2/x
- 1 + x/(x^2)
- 1 + x/(x^2)
Вы ввели:
(1+x)/x^2
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+x)/x^2
Решение
Вы ввели
[src]
/1 + x\
lim |-----|
x->oo| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right)$$
Limit((1 + x)/(x^2), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{2} + u\right)$$
=
$$0 + 0^{2} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{2} + u\right)$$
=
$$0 + 0^{2} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
График