Интеграл x^3*log(x^4+3) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x^{4} + 3 \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{4 x^{3} dx}{x^{4} + 3}$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u e^{u}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u e^{u}}{4}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{4}$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u e^{u}}{4} - \frac{e^{u}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{x^{4}}{4} + \frac{\left(x^{4} + 3\right) \log{\left(x^{4} + 3 \right)}}{4} - \frac{3}{4}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{4} + 3 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 3}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. пусть $u = x^{4}$.

      Тогда пусть $du = 4 x^{3} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u}{4 u + 12}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u}{4 u + 12} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4 \left(u + 3\right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{3}{4 \left(u + 3\right)}\right)\, du = - \frac{3 \int \frac{1}{u + 3}\, du}{4}$

            1. пусть $u = u + 3$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(u + 3 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \log{\left(u + 3 \right)}}{4}$

         Результат есть: $\frac{u}{4} - \frac{3 \log{\left(u + 3 \right)}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 \log{\left(x^{4} + 3 \right)}}{4}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{x^{4}}{4} + \frac{\left(x^{4} + 3\right) \log{\left(x^{4} + 3 \right)}}{4} - \frac{3}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{4}}{4} + \frac{\left(x^{4} + 3\right) \log{\left(x^{4} + 3 \right)}}{4} - \frac{3}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{\left(x^{4} + 3\right) \log{\left(x^{4} + 3 \right)}}{4} - \frac{3}{4}+ \mathrm{constant}$