Интеграл (x^3+1)^2 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(x^{3} + 1\right)^{2} = x^{6} + 2 x^{3} + 1$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{4}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $\frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{2} + x$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{2} + x+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{2} + x+ \mathrm{constant}$