Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 5*cos(x)-3*x^2+1/x
Интеграл x-5*x^3
Интеграл (x^3+1)/(x^3-x^2)
Интеграл e^(4*x+1)
Идентичные выражения
(x^ три + один)/(x^ три -x^ два)
(x в кубе плюс 1) делить на (x в кубе минус x в квадрате )
(x в степени три плюс один) делить на (x в степени три минус x в степени два)
(x3+1)/(x3-x2)
x3+1/x3-x2
(x³+1)/(x³-x²)
(x в степени 3+1)/(x в степени 3-x в степени 2)
x^3+1/x^3-x^2
(x^3+1) разделить на (x^3-x^2)
(x^3+1)/(x^3-x^2)dx
Похожие выражения
(x^3-1)/(x^3-x^2)
((x^3)+1)/((x^3)-(x^2))
(x^3+1)/(x^3+x^2)

Интеграл (x^3+1)/(x^3-x^2) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |    3       
 |   x  + 1   
 |  ------- dx
 |   3    2   
 |  x  - x    
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{3} + 1}{x^{3} - x^{2}}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - x^{2}} = 1 + \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{2}{x - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $2 \log{\left(x - 1 \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$
    1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
    Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x}$
  Результат есть: $x - \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x - 1 \right)} + \frac{1}{x}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{3} - x^{2}} + \frac{1}{x^{3} - x^{2}}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x^{3}}{x^{3} - x^{2}} = 1 + \frac{1}{x - 1}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, dx = x$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Результат есть: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x^{3} - x^{2}} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x \right)}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$
      
      Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x}$
    Результат есть: $- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} + \frac{1}{x}$
  Результат есть: $x - \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x - 1 \right)} + \frac{1}{x}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$x - \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x - 1 \right)} + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x - \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x - 1 \right)} + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                               
 |                                                
 |   3                                            
 |  x  + 1              1                         
 | ------- dx = C + x + - - log(x) + 2*log(-1 + x)
 |  3    2              x                         
 | x  - x                                         
 |                                                
/

$$-\log x+x+{{1}\over{x}}+2\,\log \left(x-1\right)$$

Упростить

Ответ [src]

-oo

$${\it \%a}$$

-oo

$$-\infty$$

Упростить

Численный ответ [src]

-1.3793236779486e+19

-1.3793236779486e+19

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x^3+1)/(x^3-x^2) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2