Интеграл (x^2+1)^8*x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{8}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{8}}{2}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{9}}{18}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{9}}{18}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \left(x^{2} + 1\right)^{8} = x^{17} + 8 x^{15} + 28 x^{13} + 56 x^{11} + 70 x^{9} + 56 x^{7} + 28 x^{5} + 8 x^{3} + x$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8 x^{15}\, dx = 8 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{16}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 28 x^{13}\, dx = 28 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $2 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 56 x^{11}\, dx = 56 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{14 x^{12}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 70 x^{9}\, dx = 70 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $7 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 56 x^{7}\, dx = 56 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $7 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 28 x^{5}\, dx = 28 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{14 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $2 x^{4}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Результат есть: $\frac{x^{18}}{18} + \frac{x^{16}}{2} + 2 x^{14} + \frac{14 x^{12}}{3} + 7 x^{10} + 7 x^{8} + \frac{14 x^{6}}{3} + 2 x^{4} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{9}}{18}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{9}}{18}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{9}}{18}+ \mathrm{constant}$