Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 1/sqrt(4-x^2)
Интеграл (cos(2*x))^4
Интеграл 1/(1+cos(x)^(2))
Интеграл cos(x)^2*sin(x)^4
График функции y =:
(x^2+1)/(1-x^2)
Производная:
(x^2+1)/(1-x^2)
Идентичные выражения
(x^ два + один)/(один -x^ два)
(x в квадрате плюс 1) делить на (1 минус x в квадрате )
(x в степени два плюс один) делить на (один минус x в степени два)
(x2+1)/(1-x2)
x2+1/1-x2
(x²+1)/(1-x²)
(x в степени 2+1)/(1-x в степени 2)
x^2+1/1-x^2
(x^2+1) разделить на (1-x^2)
(x^2+1)/(1-x^2)dx
Похожие выражения
(x^2-1)/(1-x^2)
(x^2+1)/(1+x^2)

Интеграл (x^2+1)/(1-x^2) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1          
  /          
 |           
 |   2       
 |  x  + 1   
 |  ------ dx
 |       2   
 |  1 - x    
 |           
/            
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} + 1}{- x^{2} + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}} = -1 + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \left(-1\right)\, dx = - x$
  1. пусть $u = x + 1$ .
    
    Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(x + 1 \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 1 \right)}$
  Результат есть: $- x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}} = \frac{- x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$
2. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{- x^{2} - 1}{x^{2} - 1} = -1 + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}$
3. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \left(-1\right)\, dx = - x$
  1. пусть $u = x + 1$ .
    
    Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(x + 1 \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 1 \right)}$
  Результат есть: $- x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}} = \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + \frac{1}{1 - x^{2}}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = -1 + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
    Результат есть: $- x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{1 - x^{2}} = - \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}}{2}$
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)\, dx}{2}$
    1. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{x - 1}$ есть $\log{\left(x - 1 \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x + 1}$ есть $\log{\left(x + 1 \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 1 \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  Результат есть: $- x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                            
 |                                             
 |  2                                          
 | x  + 1                                      
 | ------ dx = C - x - log(-1 + x) + log(1 + x)
 |      2                                      
 | 1 - x                                       
 |                                             
/

$$\log \left(x+1\right)-x-\log \left(x-1\right)$$

Упростить

Ответ [src]

oo + pi*I

$${\it \%a}$$

oo + pi*I

$$\infty + i \pi$$

Упростить

Численный ответ [src]

43.7841039667738

43.7841039667738

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x^2+1)/(1-x^2) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3