Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 1/sqrt(4-x^2)
Интеграл (cos(2*x))^4
Интеграл 1/(1+cos(x)^(2))
Интеграл cos(x)^2*sin(x)^4
Идентичные выражения
(x^ два - один)/(x^ четыре + один)
(x в квадрате минус 1) делить на (x в степени 4 плюс 1)
(x в степени два минус один) делить на (x в степени четыре плюс один)
(x2-1)/(x4+1)
x2-1/x4+1
(x²-1)/(x⁴+1)
(x в степени 2-1)/(x в степени 4+1)
x^2-1/x^4+1
(x^2-1) разделить на (x^4+1)
(x^2-1)/(x^4+1)dx
Похожие выражения
(x^2+1)/(x^4+1)
(x^2-1)/(x^4-1)

Решение интегралов/ (x^2-1)/(x^4+1)

Интеграл (x^2-1)/(x^4+1) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1          
  /          
 |           
 |   2       
 |  x  - 1   
 |  ------ dx
 |   4       
 |  x  + 1   
 |           
/            
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} - 1}{x^{4} + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2} - 1}{x^{4} + 1} = \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x^{4} + 1}$
2. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x^{4} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} - \frac{1}{x^{4} + 1}$
3. Интегрируем почленно:
  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
    
    Но интеграл
    
    $\frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x^{4} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{4} + 1}\, dx$
    1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
      
      Но интеграл
      
      $- \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{4}$
  Результат есть: $\frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{4}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2} - 1}{x^{4} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} - \frac{1}{x^{4} + 1}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
    
    Но интеграл
    
    $\frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x^{4} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{4} + 1}\, dx$
    1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
      
      Но интеграл
      
      $- \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{4}$
  Результат есть: $\frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{4}$
Теперь упростить:

$\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)} - \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}\right)}{4}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)} - \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)} - \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                         
 |                                                                          
 |  2                ___    /     2       ___\     ___    /     2       ___\
 | x  - 1          \/ 2 *log\1 + x  + x*\/ 2 /   \/ 2 *log\1 + x  - x*\/ 2 /
 | ------ dx = C - --------------------------- + ---------------------------
 |  4                           4                             4             
 | x  + 1                                                                   
 |                                                                          
/

$${{\log \left(x^2-\sqrt{2}\,x+1\right)}\over{2^{{{3}\over{2}}}}}-{{ \log \left(x^2+\sqrt{2}\,x+1\right)}\over{2^{{{3}\over{2}}}}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

    ___    /      ___\     ___    /      ___\
  \/ 2 *log\2 + \/ 2 /   \/ 2 *log\2 - \/ 2 /
- -------------------- + --------------------
           4                      4

$${{\log \left(2-\sqrt{2}\right)}\over{2^{{{3}\over{2}}}}}-{{\log \left(\sqrt{2}+2\right)}\over{2^{{{3}\over{2}}}}}$$

    ___    /      ___\     ___    /      ___\
  \/ 2 *log\2 + \/ 2 /   \/ 2 *log\2 - \/ 2 /
- -------------------- + --------------------
           4                      4

$$- \frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} + 2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(- \sqrt{2} + 2 \right)}}{4}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-0.623225240140231

-0.623225240140231

График

$Интеграл (x^2-1)/(x^4+1) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x^2-1)/(x^4+1) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2