Интеграл x^2/(x+2) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x + 2 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $4 \log{\left(x + 2 \right)}$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$