Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (sin(x)/2-cos(x)/2)^2
Интеграл x^(3/4)
Интеграл sqrt(9)-x^2
Интеграл (3*x+5)/(x^2+6*x+10)
Идентичные выражения
x^ два /(пять -x^ шесть)
x в квадрате делить на (5 минус x в степени 6)
x в степени два делить на (пять минус x в степени шесть)
x2/(5-x6)
x2/5-x6
x²/(5-x⁶)
x в степени 2/(5-x в степени 6)
x^2/5-x^6
x^2 разделить на (5-x^6)
x^2/(5-x^6)dx
Похожие выражения
x^2/(5+x^6)
Что Вы имели ввиду?
x^2/(5 - x^6)
x^2*6/(5 - x)
x^2/((5 - x)^6)
x^2/5 - x^6
x*2/(5 - x^6)
x*2*6/(5 - x)
x^2/5 - x^6

Вы ввели:

x^2/(5-x^6)

Что Вы имели ввиду?

x^2/(5 - x^6)

x^2*6/(5 - x)

x^2/((5 - x)^6)

x^2/5 - x^6

x*2/(5 - x^6)

x*2*6/(5 - x)

x^2/5 - x^6

Интеграл x^2/(5-x^6) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1          
  /          
 |           
 |     2     
 |    x      
 |  ------ dx
 |       6   
 |  5 - x    
 |           
/            
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{- x^{6} + 5}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = x^{3}$ .
  
  Тогда пусть $du = 3 x^{2} dx$ и подставим $- du$ :
  
  $\int \frac{1}{3 u^{2} - 15}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{3 u^{2} - 15}\right)\, du = - \int \frac{1}{3 u^{2} - 15}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{3 u^{2} - 15} = \frac{\sqrt{5}}{30} \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}} + \frac{1}{u - \sqrt{5}}\right)$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sqrt{5}}{30} \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}} + \frac{1}{u - \sqrt{5}}\right)\, du = \frac{\sqrt{5} \int \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}} + \frac{1}{u - \sqrt{5}}\right)\, du}{30}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{u - \sqrt{5}}$ есть $\log{\left(u - \sqrt{5} \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + \sqrt{5}}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u + \sqrt{5}}$ есть $\log{\left(u + \sqrt{5} \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + \sqrt{5} \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(u - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(u + \sqrt{5} \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(u - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(u + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(u - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(u + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(x^{3} - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(x^{3} + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2}}{5 - x^{6}} = - \frac{x^{2}}{x^{6} - 5}$
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{6} - 5}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{6} - 5}\, dx$
  1. пусть $u = x^{3}$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 x^{2} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{3 u^{2} - 15}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{3 u^{2} - 15} = \frac{\sqrt{5}}{30} \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}} + \frac{1}{u - \sqrt{5}}\right)$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sqrt{5}}{30} \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}} + \frac{1}{u - \sqrt{5}}\right)\, du = \frac{\sqrt{5} \int \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}} + \frac{1}{u - \sqrt{5}}\right)\, du}{30}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{u - \sqrt{5}}$ есть $\log{\left(u - \sqrt{5} \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + \sqrt{5}}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u + \sqrt{5}}$ есть $\log{\left(u + \sqrt{5} \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + \sqrt{5} \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(u - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(u + \sqrt{5} \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(u - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(u + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(x^{3} - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(x^{3} + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(x^{3} - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(x^{3} + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2}}{5 - x^{6}} = - \frac{x^{2}}{x^{6} - 5}$
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{6} - 5}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{6} - 5}\, dx$
  1. пусть $u = x^{3}$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 x^{2} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{3 u^{2} - 15}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{3 u^{2} - 15} = \frac{\sqrt{5}}{30} \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}} + \frac{1}{u - \sqrt{5}}\right)$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sqrt{5}}{30} \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}} + \frac{1}{u - \sqrt{5}}\right)\, du = \frac{\sqrt{5} \int \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}} + \frac{1}{u - \sqrt{5}}\right)\, du}{30}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{u - \sqrt{5}}$ есть $\log{\left(u - \sqrt{5} \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u + \sqrt{5}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + \sqrt{5}}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u + \sqrt{5}}$ есть $\log{\left(u + \sqrt{5} \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + \sqrt{5} \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(u - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(u + \sqrt{5} \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(u - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(u + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(x^{3} - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(x^{3} + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(x^{3} - \sqrt{5} \right)} - \log{\left(x^{3} + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}$
Теперь упростить:

$\frac{\sqrt{5} \left(- \log{\left(x^{3} - \sqrt{5} \right)} + \log{\left(x^{3} + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\sqrt{5} \left(- \log{\left(x^{3} - \sqrt{5} \right)} + \log{\left(x^{3} + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{5} \left(- \log{\left(x^{3} - \sqrt{5} \right)} + \log{\left(x^{3} + \sqrt{5} \right)}\right)}{30}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                           
 |                                                            
 |    2              ___ /     /  ___    3\      / 3     ___\\
 |   x             \/ 5 *\- log\\/ 5  + x / + log\x  - \/ 5 //
 | ------ dx = C - -------------------------------------------
 |      6                               30                    
 | 5 - x                                                      
 |                                                            
/

$$-{{\log \left({{2\,x^3-2\,\sqrt{5}}\over{2\,x^3+2\,\sqrt{5}}} \right)}\over{6\,\sqrt{5}}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

    ___ /          /       ___\\     ___    /  ___\     ___ /          /  ___\\     ___    /      ___\
  \/ 5 *\pi*I + log\-1 + \/ 5 //   \/ 5 *log\\/ 5 /   \/ 5 *\pi*I + log\\/ 5 //   \/ 5 *log\1 + \/ 5 /
- ------------------------------ - ---------------- + ------------------------- + --------------------
                30                        30                      30                       30

$$-{{\log \left(-{{\sqrt{5}-3}\over{2}}\right)}\over{6\,\sqrt{5}}}$$

    ___ /          /       ___\\     ___    /  ___\     ___ /          /  ___\\     ___    /      ___\
  \/ 5 *\pi*I + log\-1 + \/ 5 //   \/ 5 *log\\/ 5 /   \/ 5 *\pi*I + log\\/ 5 //   \/ 5 *log\1 + \/ 5 /
- ------------------------------ - ---------------- + ------------------------- + --------------------
                30                        30                      30                       30

$$- \frac{\sqrt{5} \log{\left(\sqrt{5} \right)}}{30} + \frac{\sqrt{5} \log{\left(1 + \sqrt{5} \right)}}{30} - \frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(-1 + \sqrt{5} \right)} + i \pi\right)}{30} + \frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(\sqrt{5} \right)} + i \pi\right)}{30}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0717348234940007

0.0717348234940007

График

$Интеграл x^2/(5-x^6) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Что Вы имели ввиду?

Вы ввели:

Что Вы имели ввиду?

Интеграл x^2/(5-x^6) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3