Интеграл 1/sin(x)^(6) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\csc^{6}{\left(x \right)} = \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \csc^{2}{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \cot{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \cot{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$