Интеграл x^2/(9-x^2) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{9 - x^{2}} = -1 + \frac{3}{2 \left(x + 3\right)} - \frac{3}{2 \left(x - 3\right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{2 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = x + 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{3}{2 \left(x - 3\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 3 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}$

      Результат есть: $- x - \frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{9 - x^{2}} = - \frac{x^{2}}{x^{2} - 9}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} = 1 - \frac{3}{2 \left(x + 3\right)} + \frac{3}{2 \left(x - 3\right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{3}{2 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x + 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x + 3 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{2 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x - 3 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}$

         Результат есть: $x + \frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- x - \frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x - \frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x - \frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$