Интеграл x*(x-1)^3 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(x - 1\right)^{3} = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 3 x^{3}\right)\, dx = - 3 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $x^{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(4 x^{3} - 15 x^{2} + 20 x - 10\right)}{20}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(4 x^{3} - 15 x^{2} + 20 x - 10\right)}{20}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(4 x^{3} - 15 x^{2} + 20 x - 10\right)}{20}+ \mathrm{constant}$