Интеграл (x+3)*sin(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 3\right) \sin{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \sin{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 \cos{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = x + 3$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \sin{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$