Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sin(x)^3
Интеграл tan(x)^(3)
Интеграл 1/(1-cos(x))
Интеграл x^2*sqrt(9)-x^2
Идентичные выражения
(x+ один)/(три *x+ один)
(x плюс 1) делить на (3 умножить на x плюс 1)
(x плюс один) делить на (три умножить на x плюс один)
(x+1)/(3x+1)
x+1/3x+1
(x+1) разделить на (3*x+1)
(x+1)/(3*x+1)dx
Похожие выражения
(x+1)/(3*x-1)
(x-1)/(3*x+1)
(x+1)/((3*x+1)^(1/3))

Решение интегралов/ (x+1)/(3*x+1)

Интеграл (x+1)/(3*x+1) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |   x + 1    
 |  ------- dx
 |  3*x + 1   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 1}{3 x + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x + 1}{3 x + 1} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3 \cdot \left(3 x + 1\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{2}{3 \cdot \left(3 x + 1\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{1}{3 x + 1}\, dx}{3}$
    1. пусть $u = 3 x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{1}{9 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{2 \log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}$
  Результат есть: $\frac{x}{3} + \frac{2 \log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x + 1}{3 x + 1} = \frac{x}{3 x + 1} + \frac{1}{3 x + 1}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x}{3 x + 1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot \left(3 x + 1\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{3 \cdot \left(3 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{3 x + 1}\, dx}{3}$
      
      пусть $u = 3 x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{1}{9 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}$
    Результат есть: $\frac{x}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}$
  1. пусть $u = 3 x + 1$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{1}{9 u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{x}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{9} + \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{3}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x}{3} + \frac{2 \log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{3} + \frac{2 \log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                   
 |                                    
 |  x + 1           x   2*log(1 + 3*x)
 | ------- dx = C + - + --------------
 | 3*x + 1          3         9       
 |                                    
/

$${{2\,\log \left(3\,x+1\right)}\over{9}}+{{x}\over{3}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

1   2*log(4)
- + --------
3      9

$${{2\,\log 4+3}\over{9}}$$

1   2*log(4)
- + --------
3      9

$$\frac{2 \log{\left(4 \right)}}{9} + \frac{1}{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.641398746915531

0.641398746915531

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x+1)/(3*x+1) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2